Kurátor: Malcolm a. H. MacCallum
Přesné Řešení Einsteinových Rovnic,
Einsteinovy Obecné teorie Relativity je předním teorie časoprostoru a gravitace: je vysoce nelineární. Přesná řešení Einsteinových rovnic tak modelují gravitační systémy a umožňují zkoumání matematiky a fyziky teorie.,
Obsah
- 1 Shrnutí
- 2 Einsteinova rovnice,
- 3 Tvorba rovnic povolný
- 3.1 Symetrie skupiny
- 3.2 „Algebraicky speciální“ řešení
- 3.3 Dalších zjednodušujících předpokladů
- 4 Řešení rovnic
- 5 Některé důležité řešení
- 5.1 Schwarzschildův a Kerr řešení
- 5.2 Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) řešení
- 5.3 Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) řešení
- 5.4 rovinných vln
- 5.,5 Taub-OŘECH
- 6 Odkazy
- 7 Viz také
Shrnutí
Einstein ‚ s oblasti rovnic obecné relativity jsou 10 nonlinearpartial diferenciálních rovnic ve 4 nezávislých proměnných. Tento komplikovaný systém nelze obecně integrovat, i když se přeformuloval jako vlastní integrální rovnice (Sciama, Waylenand Gilman, 1969). Lze použít analytické a numerické aproximacepro prozkoumání fyzických situací. Přesná řešení, i když získaná zjednodušujícími předpoklady, doplňují takové přístupy vněkolik způsobů., Ztělesňují plné nelinearity, což umožňuje studovat ofstrong pole režimy, které poskytují pozadí, na které perturbativeapproximations mohou být postaveny, a umožňují kontrolu numericalaccuracy.
pojem ‚přesné řešení‘ není přesně definován: obvykle to znamená, asolution, kde všechny veličiny jsou vyjádřeny pomocí elementárních funkcí nebo známých speciálních funkcí, ale někdy je rozšířen zahrnovat řešení je známo jen na řešení jednoho nebo moredifferential rovnic., Známá přesná řešení jsou získána z širokého spektra předpokladů, z nichž nejdůležitější jeimpozice symetrických skupin nebo speciálních forem zakřivenítenzoru. Mezi známými řešeními byly některé zvláštnídůležitost fyzicky nebo matematicky.
řada knih poskytuje průzkumy přesných řešení a měla by být ověřena, pokud jsou požadovány plnější detaily. Pro obecný průzkum řešení obsahujících tojednoduchá energie-momenta daná vakuem, elektromagnetismem a perfectfluids viz Stephani et al., (2003), pro nehomogenní cosmologicalsolutions (definované jako ty, které obsahují jako speciální případ jeden z FLRW modely popsány níže) vidět Krasi$\acute{\rm n}$ski (1997), a pro podrobné průzkumy somespecial tříd viz Griffiths (1991) a Belinskii a Verdaguer(2001).
Pro fyzikální interpretace mnoho důležitých řešení seeBi$\check{\rm c}\acute{\rm s}$k (2000) a Griffiths a Podolsk$\acute{\rm y}$ (2009). Je třeba poznamenat, že přesné řešení nemusí nutně mítjedinečný výklad., Například, mezi příklady později Schwarzschild řešení lze interpretovat jako zastupující buď vnější regionu sphericalmass, nebo interakce regionu po srážce dvou particularplane vlny. Souvisejícím bodem je, že různé zdroje mohou vést ke stejnému přesnému řešení.
Einsteinovy rovnice
Einsteinova obecná teorie Relativity zobecňuje Newtonovu gravitaci na jednu kompatibilní se speciální relativitou., To modely vesmíru plýtvalo bodů jako (pseudo-)Riemannových čtyři-dimenzionální potrubí s ametric \(g_{ab}\) podpis \(\pm 2\) (znamení výběr isconventional). Předpokládá se, že testovací částice se pohybují na geodetikáchtento rozdělovač a přílivové gravitační síly jsou popsány jehopřežití.
rovnice byly zavedeny v oblasti souřadnicového základě butare často psány ve formě získané za předpokladu, že tetrad (achoice na základě tečný vektorový prostor, jehož bázi vektorů haveconstant skalárních součinů), nebo v podobě spin-koeficient formalismus.,
Protože tím, že začíná od odlišných charakterizující assumptionsone může dorazit na stejné řešení v různých souřadnicích, ‚equivalence problém rozhodování, kdy dva rozvody jsou (lokálně) stejná, tj. izometrický, je důležité. To je formálně undecideablebut v praxi lze obvykle vyřešit pomocí metod založených na ideasof Cartan (viz kapitola 9 Stephani et al. (2003)).,
stejná rovnice (mutatis mutandis) byly použity a řešeny ve vyšších dimenzích (viz Černý kroužek), s některými z stejné techniky, ale zatím velmi málo na plnou šířku možných řešení v 5 nebo více rozměrů byla prozkoumána.
tvorba rovnic tractable
autoři někdy předpokládají metrickou formu a používají Eq. (1) přepočítat energii-hybnost (to je zastaralá \(g\)-metoda popsaná bySynge (1971)). Vzhledem k tomu, že žádná rovnice není ve skutečnosti vyřešena, výsledek neslouží jako řešení., Přesná řešení jsou však získávána méně extrémními formami zjednodušení, které pro danou formu energie-hybnosti mohou automaticky zajistit, že některé z nich jsou pravdivé, zatímco jiné nechávají být vyřešeny.
skupiny symetrie
řešení získaná těmito předpoklady jsou pokryta částí II ofStephani et al. (2003): viz také Griffiths (1991), Belinski averdaguer (2009) a Bolejko et al (2010).,
„algebraicky speciální“ řešení
nenulový Weyl tensor má vlastnost,že existují čtyři „hlavní nulové směry“ (PND), definované nulovými vektory, které poslouchají \ bc}k^bk^C = 0.\] Algebraická struktura tenzoru Weyl je pak charakterizovánazda se dva nebo více PND shodují. Když to udělají alespoň dva, pak se předpokládá, že poskytuje vhodnou energii-hybnost, může být metrický tenzor zesílen., Takové spacetimes jsou známé jako `algebraicky speciální, mohou být klasifikovány do Petrov typy čísly coincidentPNDs: podrobnosti o možné případy jsou uvedeny v článku na spin-koeficient formalismus. Pro energie-hybnosti usuallyconsidered v takové spacetimes, vektorové pole opakované PND isgeodesic a shearfree do Kundt-Thompson věta, která (viz Stephani etal (2003), theorem 7.5) zobecňuje Goldberg-Sachs theorem. Když se shodují jen dvě PNDs, prostorový isof Petrov typu II., V článku o spin-koeficient formalismus příklad z Robinson-Trautman řešení (Petrov typ II metriky, ve které nastupují opakované Pnd je twist-free) je odvozen v detailu.
známá algebraicky speciální řešení jsou diskutována v části III ofStephani et al. (2003). Přirozeně dochází k překrývání s řešenímzískané za předpokladu skupin symetrie. Například všechny sférickysymetrické řešení jsou typu Petrov D nebo, jako zvláštní případ, konformněploché.,
Další zjednodušující předpoklady
Některé další obory zájmu vyplývají z těchto předpokladů.
- existuje konstantní vektor nebo tenzor pole
- zakřivení je opakované, složité opakující se, nebo symetrické (to jsou podmínky, např.,, \(R_{abcd;e}\))
- je Zabíjet nebo Zabít-Yano tenzor
- časoprostor připouští konformní návrhy nebo collineations (vektorové pole generující transformace, podle nichž metrika je mapován na více sám o sobě, nebo zakřivení k sobě)
- časoprostor obsahuje povrchy se speciálními vlastnostmi (například plochý tří-dimenzionální plátky)
- časoprostor má speciální vkládání vlastnosti
zvláště častý případ je tam, kde je konformní pohybu prokterý více je konstantní: takové transformace jsou calledhomotheties., Jejich generující vektorová pole poslouchají \where\ (C\) je konstanta. Značný počet známých řešení připouští homotety, i když mnohé z nich byly objeveny bez přítomnosti homothety.
Řešení rovnic
Jakmile má člověk zjednodušený metrické a představil suitableenergy-hybnosti, tenzor, zbývající non-triviální rovnice bude forma systému z diferenciální rovnice (nebo v případě spacetimehomogeneity, algebraické rovnice). Neexistuje žádný obecný algoritmus provšechny případy, ale některé metody používané v jiných oblastech se ukázaly jako užitečné.,
Leží bod symetrie soustavy rovnic, i když užitečné vmnoha situacích (viz např. Stephani (1989) nebo Olver (1986)), usuallyreduce v časoprostoru kontextu diffeomorphisms potrubí(jen říkám, že výsledky jsou koordinovat invariantní) nebo toisometric nebo homothetic pohyby. Existují však případy (forexample, sféricky symetrické smearfree perfect fluids), kdy liepoint symetries byly užitečné při hledání exactsolutions. Generalizované symetrie, prodloužení a linearizace mohoutaké pomoci.,
zejména, řešení s dvěma dojíždění Zabíjení vektorů (jedná onspacelike nebo timelike dvou-dimenzionální plochy), a obsahující svém stavu sám promluvit vhodný energie-hybnosti, které jsou přístupné metody z theoryof integrovatelné systémy, jako jsou harmonické mapy (potenciální spacesymmetries), Bäcklund transformace, inverzní rozptyl, andRiemann-Hilbertovy problémy. Například všechny stacionární axisymmetricvacuum spacetimes lze získat pomocí těchto technik generování z plochého prostoru. Mezi výsledky patří solitonická řešení.,
Některé důležité řešení
mnoho řešení jsou známé, jako pročtení odkazů citedin Shrnutí bude show, a mnoho z nich nebyly fullyinterpreted fyzicky. Znát metriku v uzavřené formě, elucidationof její fyzikální vlastnosti, mohou být stále obtížné (viz Griffiths a Podolsk$\acute{\rm y}$ (2009)):například, geodetické rovnice, jejichž řešení dát possibletracks testovacích částic a světelných paprsků, může být řešitelný i pro simplemetrics. Mezi nejdůležitější řešení patří ty, které jsou nyní stručněpopsané., (Všimněte si, že i když jsou vybraná řešení algebraickyspeciální a několik je sférickysymetrických, to zdaleka není případ všech řešení.) Původní dokumenty, ve kterých byla vybraná řešení poprvé odvozena, jsou snadno dostupné, s výjimkou prvního papíru rovinných vln, který byl zařazen do série“ Golden Oldies“.
řešení Schwarzschild a Kerr
metrika Schwarzschild je jedinečným externím řešením pro sféricky symetrické tělo v okolním prázdném prostoru., To naznačuje, že Obecné teorie Relativity akcií s Newtonovská gravitace vlastnost, že vnější pole nějaké kulovité tělo, závisí pouze na jeho celkové hmotnosti, a ne na radiální distribuci záležitost. Interpretace řešení jako stejné jako u bodové hmoty ve středu je však neuspokojivá, protože výše uvedený formulář je vhodný pouze v \(r>2m\). V prvních letech po objevení řešení, vědci nebyli jasné, zda \(r=2m\), kde metrika Eq. (5) jasně má singulární koeficient, představuje skutečnou singularitu., To je teď dobře pochopil, že je to „horizont událostí“, hranice černé díry, a že úplné analytické pokračování řešení je singulární v \(r=0\). Pro historické informace viz Eisenstaedt (1982) a pro obecnou diskusi o globální vlastnosti spacetimes, včetně těch, diskutovali zde, viz Hawking a Ellis (1973). Řešení Schwarzschild poskytlo vzor pro pozdější zkoumání singularit a černých děr.
jedinečnost tohoto řešení ukazuje, že obecná relativita nepřipouští monopolární gravitační vlny., To je také nejnižší pořadí přiblížení k poli reálných astronomických těles, jako je země a slunce. Výpočet geodesics v této oblasti umožnil přesné předpovědi ohýbání světla při Slunci a před perihelu Merkuru, dva z „klasické testy“ obecné teorie relativity.
řešení Schwarzschild je speciální případ roztoku Kerr (nalezený v roce 1963), který představuje vnější pole rotující černé díry. To lze napsat jako příklad Eq. (4) s \(e=g=l=\Lambda=0\) a je obvyklé psát \(a^2:=\gamma\)., Poměr rotace k hmotnosti(v geometrizovaných jednotkách) je pak \(a/m\). Řešení Schwarzschild a Kerr poskytují zázemí pro studium fyziky v oblasti černých děr, které se používají při modelování rentgenových binárních zdrojů a aktivních galaktických jader v astronomii. Pozorování záření z hmoty v blízkosti černých děr nám umožňuje odvodit, že existují astronomické černé díry s \(a/m > 0.95\): viz černé díry.
černé díry Schwarzschild a Kerr lze snadno zobecnit tak, aby zahrnovaly nenulové elektromagnetické náboje a (pomocí Eq., (4) například) nenulové \(l\) a \(\Lambda\). Existují věty o jedinečnosti, které ukazují (s některými technickými námitkami), že tyto rodiny jsou jedinečnými stacionárními černými dírami se sférickou topologií ne-singulárního horizontu událostí.
Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) řešení
Tato řešení dávají geometrie „standardní model“ v moderní kosmologie, a tak poskytnout zázemí pro obrovský počet dokumentů studovat kosmologické fyziky, včetně odchylky řešení., Jejich geometrie byla objasněna Robertson a Walker, nezávisle, v roce 1930, a nejčastěji používané specifické řešení byly nalezeny Friedmann a Lemaître v roce 1920: odtud zdlouhavý název.
řešení Lemaître-Tolman-Bondi (LTB)
tato sféricky symetrická řešení jsou řešením pro Eq. (2) obsahující „prach“ (dokonalá tekutina s \(p=0\)) s \(\Lambda=0\). Zobecňují roztoky FLRW pro prach na nehomogenní roztoky., Od prachu je věřil být přiměřené zastoupení ve vesmíru ohledu na obsah na velkém měřítku v současné době, LTB řešení byly hodně zvyklí poskytovat přesné modely struktur ve vesmíru (viz Bolejko et al (2010)). Obsahují jako zvláštní případy řešení Schwarzschild i prach FLRW.
rovinné vlny
tyto spacetimes poskytují důležitý příklad neočekávané globální struktury., Pokud se připojí rovinné vlny na plochý prostor obou stranách nějaké řadu \(u\), které tvoří „sendvič vlna“, pak kužel světla z místa na jedné straně probere na druhé straně, podle Penrose (1965). Sendvič vlna struktura vyřešena otázka, zda gravitační vlny, první pomocí aproximace, Einstein by mohlo být pouze koordinovat účinky: Bondi, Pirani a Robinson (1959) ukázal, že volné testovací částice jsou relativně urychlen průchod vlny regionu, což znamená, že vlna musí nést energii.,
rovinné vlny jsou první aproximací gravitačního záření daleko od zdroje v jinak prázdném prostoru. Jsou to speciální případ více obecné pp-vlny, řešení s covariantly konstanta null Zabíjení vektor reresenting letadlo-fronted gravitačních vln s rovnoběžnými paprsky a našel v roce 1925 Brinkman. Celá tato třída je typu Petrov N (všechny čtyři PND shodně) nebo konformně plochá.
rodina Taub-NUT
Taub-NUT spacetime má velmi neočekávané globální vlastnosti., Na NUTregion obsahuje closed timelike řádky a žádný rozumný Cauchyova povrchy,jsou tam dva inequivalent maximální analytické rozšíření theTaub regionu (nebo jeden non-Hausdorffova potrubí s oběma rozšíření), thespacetime je nonsingular ve smyslu zakřivení singularity,a tam jsou geodesics na konečných afinní parametr délka. Tyto vlastnosti vedly k titulu Misner 1963 papíru (některé z těchto vlastností jsou sdíleny ostatní Taub-MATICE metriky)., Řešení měla velký vliv na studium exactsolutions a kosmologické modely, které jsou prostorově homogenní, a obecně na ty, které jsou hypersurface-homogenní andself-podobné, na cosmologyin obecné, a na naše chápání globální analýza andsingularities v prostoru-krát.
Belinski, V A a Verdaguer, E (2001). Gravitační solitony. Cambridge University Press, Cambridge.
Eisenstaedt, J (1982). Histoire et singularity de la solution de Schwarzschild: (1915-1923). Oblouk. Hist. Přesná Sci. 27: 157-198.
Ellis, G F R a Madsen, M (1991)., Přesné skalární pole kosmologie. Třída. Quante. Grave. 8: 667-676.
Griffiths, J B (1991). Srážka rovinných vln v obecné relativitě. Oxford matematické monografie. Oxford University Press, Oxford.
Hawking, s W a Ellis, G F R (1973). Rozsáhlá struktura časoprostoru. Cambridge University Press, Cambridge.
Krasi$ \ akutní {\rm n} $ ski, A (1997). Nehomogenní kosmologické modely. Cambridge University Press, Cambridge.
Olver, P J (1986). Aplikace Ležových skupin na diferenciální rovnice. Springer-Verlag, Heidelberg.
Penrose, R (1965)., Pozoruhodná vlastnost rovinných vln v obecné relativitě. Rev. Mod. Physi. 37: 215.
Sciama, D W; Waylen, P C a Gilman, R C (1969). Obecně kovariantní integrální formulace Einsteinových polních rovnic. Fyzický Přehled A 187: 1762.
Stephani, H (1989). Diferenciální rovnice – jejich řešení pomocí symetrie. Cambridge University Press, Cambridge.
Synge, J L (1971). Relativita: obecná teorie. Severní Holandsko, Dordrecht.
Viz také
černá díra, černý prsten, kosmologická konstanta, obecná relativita, formalismus Spin-koeficientu