Venn-Diagramm von A ← B {\displaystyle A\leftarrow B}
(der weiße Bereich zeigt an, wo die Anweisung falsch ist)
Sei S eine Aussage der Form P → Q (P → Q). Dann ist das Gegenteil von S die Aussage Q impliziert P (Q → P). Im Allgemeinen sagt die Wahrheit von S nichts über die Wahrheit ihres Gegensatzes aus, es sei denn, das vorläufige P und das daraus resultierende Q sind logisch gleichwertig.
Betrachten Sie zum Beispiel die wahre Aussage „Wenn ich ein Mensch bin, dann bin ich sterblich.,“Das Gegenteil dieser Aussage ist „Wenn ich sterblich bin, dann bin ich ein Mensch“, was nicht unbedingt wahr ist.
Andererseits bleibt das Gegenteil einer Aussage mit sich gegenseitig einschließenden Begriffen angesichts der Wahrheit des ursprünglichen Satzes wahr. Dies entspricht der Aussage, dass das Gegenteil einer Definition wahr ist. Daher ist die Aussage „Wenn ich ein Dreieck bin, dann bin ich ein dreiseitiges Polygon“ logisch äquivalent zu „Wenn ich ein dreiseitiges Polygon bin, dann bin ich ein Dreieck“, weil die Definition von „Dreieck“ ist „dreiseitiges Polygon“.,
Eine Wahrheitstabelle macht deutlich, dass S und das Gegenteil von S logisch nicht gleichwertig sind, es sei denn, beide Begriffe implizieren sich gegenseitig:
Der Übergang von einer Aussage zu ihrem Gegenteil ist der Trugschluss, das Konsequente zu bestätigen. Wenn jedoch die Anweisung S und ihre Umkehrung äquivalent sind (dh P ist wahr, wenn und nur wenn Q auch wahr ist), ist die Bestätigung der Konsequenz gültig.
Converse Implikation entspricht logisch der Disjunktion von P {\displaystyle P} und Q {\displaystyle \neg Q}
In natürlicher Sprache könnte dies „nicht Q ohne P“gerendert werden.,
Converse eines theoremEdit
In der Mathematik ist das Gegenteil eines Theorems der Form P → Q Q → P. Das Gegenteil kann wahr sein oder auch nicht, und selbst wenn es wahr ist, kann der Beweis schwierig sein. Zum Beispiel wurde der Vier-Scheitelpunkt-Satz 1912 bewiesen, aber sein Gegenteil wurde erst 1997 bewiesen.
In der Praxis können bei der Bestimmung des Gegensatzes eines mathematischen Theorems Aspekte des Vorgängers als Kontext betrachtet werden. Das heißt, das Gegenteil von „Gegeben P, wenn Q dann R“ wird „Gegeben P, wenn R dann Q“sein., Zum Beispiel kann der Satz von Pythagoras wie folgt angegeben werden:
Das Gegenteil, das auch in Euklids Elementen vorkommt (Buch I, Satz 48), kann wie folgt angegeben werden: