Differentialrechnung wird verwendet, um die Änderungsrate einer Variablen zu finden—im Vergleich zu einer anderen Variablen.
In der realen Welt kann es verwendet werden, um die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts zu ermitteln oder um zu verstehen, wie Elektrizität und Magnetismus funktionieren. Es ist sehr wichtig für das Verständnis der Physik—und vieler anderer Bereiche der Wissenschaft.
Differentialrechnung ist auch nützlich für die Grafik., Es kann verwendet werden, um die Steigung einer Kurve und den höchsten und niedrigsten Punkt einer Kurve zu ermitteln (diese werden als Maximum bzw.
Variablen können Ihren Wert ändern. Dies unterscheidet sich von Zahlen, da Zahlen immer gleich sind. Zum Beispiel ist die Zahl 1 immer gleich 1 und die Zahl 200 ist immer gleich 200. Man schreibt oft Variablen als Buchstaben wie den Buchstaben x: „x“ kann an einem Punkt gleich 1 und an einem anderen 200 sein.
Einige Beispiele für Variablen sind Entfernung und Zeit, da Sie sich ändern können., Die Geschwindigkeit eines Objekts ist, wie weit es sich in einer bestimmten Zeit bewegt. Wenn also eine Stadt 80 Kilometer entfernt ist und eine Person in einem Auto in einer Stunde dort ankommt, sind sie mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 Kilometern pro Stunde gefahren. Dies ist jedoch nur ein Durchschnitt: Vielleicht sind sie manchmal schneller gefahren (z. B. auf einer Autobahn) und zu anderen Zeiten langsamer (z. B. an einer Ampel oder in einer kleinen Straße, in der Menschen leben). Sicherlich ist es für einen Fahrer schwieriger, die Geschwindigkeit eines Autos nur mit seinem Kilometerzähler (Entfernungsmesser) und seiner Uhr herauszufinden—ohne Tachometer.,
Bis Kalkül erfunden wurde, bestand die einzige Möglichkeit, dies herauszufinden, darin, die Zeit in immer kleinere Stücke zu schneiden, so dass die Durchschnittsgeschwindigkeit über die kleinere Zeit zu einem bestimmten Zeitpunkt immer näher an die tatsächliche Geschwindigkeit herankommen würde. Dies war ein sehr langer und harter Prozess und musste jedes Mal durchgeführt werden, wenn die Leute etwas ausarbeiten wollten.
Auf einer Kurve, die zwei verschiedene Punkte haben unterschiedliche Steigungen. Die roten und blauen Linien sind Tangenten zur Kurve.,
Ein sehr ähnliches Problem besteht darin, die Steigung (wie steil sie ist) an einem beliebigen Punkt in einer Kurve zu finden. Die Steigung einer Geraden ist leicht zu erarbeiten — es ist einfach, wie viel es nach oben oder unten geht (y oder vertikal) geteilt durch wie viel es geht über (x oder horizontal). In einer Kurve ist die Steigung jedoch eine Variable (hat unterschiedliche Werte an verschiedenen Punkten), da sich die Linie biegt. Aber wenn die Kurve in sehr, sehr kleine Stücke geschnitten werden sollte, würde die Kurve an dem Punkt fast wie eine sehr kurze gerade Linie aussehen., Um die Steigung zu ermitteln, kann eine gerade Linie durch den Punkt mit der gleichen Steigung wie die Kurve an diesem Punkt gezogen werden. Wenn dies genau richtig gemacht wird, hat die gerade Linie die gleiche Steigung wie die Kurve und wird als Tangente bezeichnet. Aber es gibt keine Möglichkeit zu wissen (ohne komplexe Mathematik), ob die Tangente genau richtig ist, und unsere Augen sind nicht genau genug, um sicher zu sein, ob sie genau oder einfach sehr nahe ist.
Was Newton und Leibniz fanden, war eine Möglichkeit, die Steigung (oder die Geschwindigkeit im Distanzbeispiel) mit einfachen und logischen Regeln genau zu berechnen., Sie teilten die Kurve in eine unendliche Anzahl sehr kleiner Teile auf. Sie wählten dann Punkte auf beiden Seiten des Bereichs aus, an denen sie interessiert waren, und erarbeiteten jeweils Tangenten. Als sich die Punkte näher zu dem Punkt bewegten, an dem sie interessiert waren, näherte sich die Steigung einem bestimmten Wert, als sich die Tangenten der realen Steigung der Kurve näherten. Der besondere Wert, den es näherte, war die tatsächliche Steigung.
Ein Bild, das zeigt, was x und x + h auf der Kurve bedeuten.,
Mathematiker haben diese grundlegende Theorie zu einfachen Algebra-Regeln entwickelt-die verwendet werden können, um die Ableitung fast jeder Funktion zu finden.