In Analogie zur halb-ganzzahligen Formel
Γ (n + 1 3) = Γ ( 1 3) (3 n − 2)! ! ! 3 n Γ ( n + 1 4 ) = Γ ( 1 4 ) ( 4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 n Γ ( n + 1-p ) = Γ ( 1-p ) ( p n − ( p − 1 ) ) ! ( p ) p n {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!,}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (}pn-(p-1){\big )}!^{(p)}}{p^{n}}\Ende{ausgerichtet}}}
wobei n!(p) bezeichnet die pth multifaktorielle von n. Numerisch
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} OEIS: A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} OEIS: A068466 Γ ( 1 5 ) ≈ 4.,590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} OEIS: A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} OEIS: A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\approx 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} OEIS: A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} OEIS: A203142.,
Es ist nicht bekannt, ob diese Konstanten im Allgemeinen transzendent sind, aber Γ(1/3) und Γ (1/4) wurden von G. V. Chudnovsky als transzendent gezeigt. Γ(1/4) / 4√π ist auch seit langem als transzendent bekannt, und Yuri Nesterenko hat 1996 bewiesen, dass Γ (1/4), π und en algebraisch unabhängig sind.,
Die Zahl Γ(1/4) bezieht sich auf die Gauß-Konstante G von
Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}
und es wurde vermutete, durch Gramain, dass
Γ ( 1 4 ) = 4 π 3 e 2 γ − δ + 1 4 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}}
wobei δ die Masser–Gramain-Konstante OEIS: A086058, obwohl numerische arbeiten von Melquiond et al. zeigt an, dass diese Vermutung falsch ist.,
Borwein und Zucker haben herausgefunden, dass Γ(n/24) algebraisch ausgedrückt werden kann in Form von π, K(k(1)), K(k(2)), K(k(3)) und K(k(6)) wobei K(k (N)) ein vollständiges elliptisches Integral der ersten Art ist. Dies ermöglicht eine effiziente Annäherung der Gamma-Funktion rationaler Argumente an eine hohe Präzision unter Verwendung quadratisch konvergenter arithmetisch-geometrischer Mitteliterationen. Für Γ(1/5) oder andere Nenner sind keine ähnlichen Beziehungen bekannt.,
Insbesondere wenn AGM () das arithmetisch–geometrische Mittel ist, haben wir
Γ (1 3 ) = 2 7 9 ⋅ π 2 3 3 1 12 ⋅ AGM ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {\displaystyle \Gamma \left ({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {AGM} \left (2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}} Γ (1 4 ) = (2 π ) 3 2 AGM (2, 1 ) {\displaystyle \Gamma \left ({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \left ({\sqrt {2}},1\right)}}}}( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ d 5 6 HAUPTVERSAMMLUNG ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 ., {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {HV} \left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.,}
Andere Formeln sind die unendlichen Produkte
Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}
und
Γ ( 1 4 ) = 3 e − G π π 2 1 6 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k ) k ( − 1 ) k {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}
wo ist die Glaisher–Kinkelin constant-und G-Katalanisch-Konstante.,
Die folgenden zwei Darstellungen für Γ (3/4) wurden von I., k = – ∞ ∞ e π ( k − 2 k 2 ) ϑ 1 ( i π 2 (2 k − 1), e − π), {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e ^ {\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),}
und
π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = ∑ k = − ∞ ∞ ϑ 4 ( i k π , e − π ) e 2 π k 2 , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},}
wobei ϑ1 und ϑ4 zwei der Jacobi-Theta-Funktionen sind.,